EANIMAX

Materi MTK Wajib Kelas XII Kurikulum 2013 Semester 1

BAB 3 

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan. 

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. 

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan P(k). 

Jenis Induksi Matematika 

1. Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa : 

• Langkah 1 

Untuk n = 1, maka :

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar. 

• Langkah 2 

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

• Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

Pembuktiannya:

(dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1) 

2. Bilangan Bulat Hasil Pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa habis dibagi 9.

• Langkah 1

Untuk n = 1, maka: 

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

• Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

 (b merupakah hasil bagi  oleh 9)

• Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

kemudian  dimodifikasi dengan memasukan .

Materi MTK Wajib Kelas XII Kurikulum 2013 Semester 1

BAB 2C Pertumbuhan dan Peluruhan

1. Pertumbuhan

Merupakan perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam jangka waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri.

Ket : Pt = Jumlah penduduk tahun terakhir        Po = Jumlah penduduk tahun awal          n = Selisih tahun akhir dengan tahun awal          r  = pertumbuhan penduduk dalam %

2. Peluruhan 

Pelurhan adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu seperti "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".

Materi MTK Wajib Kelas XII Kurikulum 2013 Semester 1

BAB 2B Bunga

1. Bunga Tunggal

Perhatikan permasalahan berikut! Misalkan seseorang meminjam uang pada sebuah bank sejumlah Rp1.500.000,00 dan telah disepakati bahwa dalam jangka waktu satu tahun orang tersebut harus mengembalikannya sejumlah Rp1.620.000,00. Uang Rp1.500.000,00 disebut modal dan uang kelebihan sebesar Rp120.000,00 disebut bunga atau jasa atas pinjaman modal itu. Besarnya bunga sering dinyatakan dalam % (dibaca persen) dan disebut sebagai suku bunga yaitu menyatakan perbandingan antara bunga dengan modal dalam satuan waktu tertentu (1 bulan atau 1 tahun). Dalam persoalan diatas suku bunga per tahunnya dapat dinyatakan dengan: 

Dalam bentuk yang lebih umum, jika suatu modal sebesar M0 dibungakan dengan mendapat jasa modal sebesar B maka besarnya suku bunga persatuan waktu dapat ditentukan dengan memakai rumus:

Selanjutnya berdasarkan rumus tersebut dapat diartikan bahwa:M1 =M0 (1+1.b)M2 =M0 (1+2.b)M3 =M0 (1+3.b)dst

Selanjutnya dapat dijelaskan bahwa: 

M3 – M2 = M2 – M1 = M1 – M0= B = b.M0

Secara umum dapat ditulis: 

2. Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang sudah dihasilkan ditambahkan ke uang pokok pada akhir tiap-tiap periode pembayaran bunga dan kemudian ikut dipakai sebagai dasar untuk menentukan besarnya bunga pada periode berikutnya. Bunga majemuk dihitung berdasarkan saldo terakhir setelah pembungaan. Besar bunga majemuk dapat dicari menggunakan rumus :

M_n = modal pada akhir tahun ke-nM₀ = modal awali     = suku bunga
n    = lama waktu

Materi MTK Wajib Kelas XII Kurikulum 2013 Semester 1

BAB 2A Barisan dan Deret

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, 

Aritmatika

merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 - 7) = (7 - 5) = (5 - 3) = (3 - 1) = 2   

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika yang selisih antar suku yang berdekatan sama. Dapat diketahui rumus berikut ini:

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

Geometri 

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai : 

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku pertama dan rasio antar suku yang berdekatan (r) yaitu dengan rumusan berikut ini:

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

Materi MTK Wajib Kelas 12 Kurikulum 2013 Semester 1

BAB 1 Matriks

1.1 Macam-Macam Matriks

• Matriks nol

• Matriks persegi

• Matriks skalar

• Matriks identitas

• Matriks segitiga atas

• Matriks segitiga bawah

• Matriks diagonal

1.2 Operasi Pada Matriks

• Penjumlahan dan pengurangan matriks

Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut  berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

• Perkalian dua matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian. Mudahnya itu sama kaya bari di kali kolom. Agar sobat lebih paham silahkan simak contoh berikut:

1.3 Transpose Matriks 

Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan A^T. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. Simak contoh berikut:

Dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contohnya 

1.4 Determinan Matriks 

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan. 

1.5 Invers Matriks 2 x 2 

Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A^-1dan secara umum dirumuskan : 

1.6 Invers Matriks 3 x 3 

Matriks minor  adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A. 

• Kofaktor 

Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan  dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.

Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

•  Adjoin

Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.

Keterangan:  adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.

Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.

• Invers matriks

Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.
Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.

Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.

1.7 Sifat Matriks

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.